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漫才兄弟漫才作品《春节规则怪谈》

中国古代数学VS古希腊数学——普通读者为什么会深陷信息茧房？

文/职业数学家在民间

一，

关于中国古代数学与古希腊数学的比较，吴文俊院士有一段流传很广的论述：

 “我国传统数学有其自身的发展途径与独到的思想体系，而以机械化为其特色；方程求解尤其是贯穿两千多年发展中的一条主线。这与遵循古希腊传统的西方数学的公理化演绎体系大相径庭，旨趣迥异。在历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过百年来的消沉后，由于近代计算机的出现，已越来越为数学家所认识和重视，势将重新登上历史舞台。”[1]

吴文俊的这种数学史观长时间内成为中国数学史界的主流观点，针对这种主流观点的合理性，这里暂时不予置评。无论如何中西方数学史比较，这个领域是非常有意思的，非常值得探索的，有待探索的内容还非常非常多。

但历史学的首要任务却是追求历史的真实性，而对史料的抉择和使用将至关重要。对史料的不同抉择和使用方式，甚至会给读者带来完全相反的历史印象。我举个最众所周知的数学史例子——祖冲之计算圆周率，这个成就写入小学数学课本，也出现在大量的数学科普材料中，几乎没有哪个有点文化的国人不知道这个事情。这真的国人的共同骄傲啊！

其实在祖冲之之前，中国古代数学家刘徽（公元3世纪）和古希腊数学家阿基米德（公元前3世纪）就分别独立使用割圆法计算过圆周率的近似值，这才是真正开创性的工作！

据《畴人传》记载“厥后祖冲之更开密法，仍是割之又割耳，未能于徽法之外别立新术也。”[2]所以祖冲之计算圆周率仍然是沿袭刘徽的割圆法。刘徽使用了圆的内接正196边形作逼近，而根据祖冲之的结果，他应该是算到了圆的内接正24576边形[3]。

以上这些都是国内数学史著作，数学科普著作中容易查到的内容。

但是，我今天却想提一段与圆周率相关的不太普及的数学史内容，主角是古希腊数学家——托勒密，就是那个提出地心说(后来被哥白尼推翻)的托勒密。他生活在公元第二个世纪，比祖冲之的时代早大概三百年左右。托勒密使用的圆周率近似值为3.1416，并不如祖冲之的精确。

但是，这个3.1416本质上仅仅是托勒密的著作《天文学大成》中的庞大的三角表中的一个数值：

托勒密使用了一个直径为120的圆，计算了0.5°、1°、1.5°、2°、2.5°、3°……180°这些圆心角所对的弦长，这构成了他的三角表的主要数据。所以如果取1°圆心角所对的弦长，乘3 (乘360°，再除以120)就得到托勒密的圆周率近似值(使用内接正360边形)。

托勒密的三角表非常精确，被用于测天量地，在西方整整使用了1000年。

你们一定很想知道，托勒密是如何计算这么庞大的数据表格？？

120°，45°这些圆心角的弦长都好算，托勒密最先碰到的计算难点是计算36°，72°圆心角对应的弦长，为此托勒密使用了《几何原本》中的两个关于正五边形的定理。接着，利用弦长函数的倍角公式，平方和公式，和差化积公式(和我们今天的三角公式本质上是一样的)以及一些三角不等式，开方计算，线性插值，一步步算出其他数据。[4]所以托勒密的三角表的背后有一整套的三角学支撑。今天我们中学数学课堂所学的三角学正是托勒密开创的，只不过托勒密用的是弦长函数而不是今天的三角函数。

那么，托勒密是如何创建三角学的呢？

他所使用的几何知识和几何论证都是直接或间接来源于《几何原本》，平方和公式本质上就是勾股定理，和差化积公式本质上就是平面几何中大名鼎鼎的托勒密定理，倍角公式也是一个几何命题，也是用几何证明推导的。

最后让我们梳理一下上面的论述：托勒密的圆周率近似值3.1416本质上仅仅是托勒密庞大的三角表中的一个数据，而托勒密的三角表是以托勒密创建的一整套三角学为依托的，而托勒密的这套三角学的智力源泉，正是《几何原本》！

介绍托勒密圆周率背后的数学体系，绝不是要争谁胜谁负，谁强谁弱，在我看来，把中西方数学史比较当做一场穿越式的胜负竞赛是非常幼稚可笑的。

举托勒密的例子是希望读者能知晓，中西方数学史真正合理的比较，应该是以全面、充分、整体的史料为依据，而不是拿零星的数学史成就一叶障目，让读者深陷信息茧房。

二，

说到信息茧房，我忍不住想到中国古代数学中赫赫有名的计算工具——算筹。和祖冲之圆周率一样，算筹也被写入小学数学课本：

吴文俊院士认为算筹是“完美的10进位位值制”，他的评价是：

“这是中国的独特创造，是世界其他古代民族都没有的。这一创造对世界文化贡献之大，如果不能与火的发明相比，也是可以与火药，指南针，印刷术一类发明相媲美的。”[5]

“在位值制十进位计数法的基础上，不仅完成了简易方便的算术计算，产生了完美的实数系统，还发展了一种具有计算性，构造性，程序性为特色的中国机械化算法体系，而且成为13,14世纪以前两千多年数学发展的主流，这种中国式的数学在中世纪以某种方式传至欧洲，成为微积分创造发明的推动力，而且成为欧洲此后发展现代数学的火车头。”[6]

新加坡国立大学教授蓝丽容（Lam Lay Yong）的专著《Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China》更是力推“印度-阿拉伯计数系统(1,2,3…10,11…99,100…1000…)起源于中国算筹”的观点，她的主要论据之一就是：“The only numeral system that is conceptually identical to the Hindu-Arabic system is rod numeral system”[7]（算筹计数系统是唯一和印度阿拉伯计数系统在概念上等同的计数系统）

好了，我又要提一些不和谐的内容了。

其实10进制位值制绝不是中国独创的。古希腊人所使用的计算工具——计数板（abacus， 材料是石块和板）也是10进制位值制，历史同样非常悠久，甚至有可能追溯到古巴比伦。下图是1846年在希腊岛屿萨拉米发现的萨拉米板(Salamis Tablet, 约公元前300年)：

此外关于计数板还有不少古希腊文献证据。下图是用古希腊计数板表示673和1389

其实对于数学史这个领域而言，这根本不是什么偏门的冷知识，Thomas Heath的名著《A history of Greek mathematics》还专门有一节介绍计数板。[8]关于古希腊计数板的专著，可以参考Reviel Netz的长文《Counter culture：towards a history of Greek numeracy》，和Alain Scharlig的法语著作《Compter avec des cailloux: Le calcul élémentaire chez les anciens Grecs》。(这两年我一直推荐国内几个出版社翻译出版Alain Scharlig的书，但都没下文了)

从吴文俊1975年以顾今用的笔名发布《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》以来，国内的数学史著作和数学科普材料中就不断充斥着大量对中国古代算筹的宣传内容，但绝无对古希腊计数板的介绍！

昨天的文章《为什么中国古代数学最终远远落后于西方数学？？？？？》发布之后，一堆读者跟我抗议，说中国古代数学很强，比西方如何如何……

其实不论中国古代数学，还是古希腊数学，都是全人类的文化遗产，皆可为我所用，争个孰强孰弱，意义并不大的。

真正应该反思的是：

究竟是什么因素导致这些数学史读者深陷信息茧房？？？？

三，

好了，目前我的第一本数学史著作《九章故事》已经完成初稿了，昨天的文章《为什么中国古代数学最终远远落后于西方数学？？？？？》是书稿的最后一章，也是压轴戏。现在我要宣布一个庞大的数学史写作计划。

围绕中西方数学史比较这一话题，我计划写三本书：

第一本书将从历史，文化，哲学，经学，数学等角度宏观比较中国古代数学和古希腊数学；第二本书将聚焦无理数方程等话题比较中西方数学路线；第三本书将聚焦几何学比较中西方数学路线。

关于中国古代数学，我目前的计划是两本书，一本是围绕《周髀算经》，另一本是涉及秦汉时期的算术发展演化。

我完全有资格承担这个写作计划，首先，我有深厚的数学史功底，另外，更重要的是，我敢于

直面真相，秉笔直书！


参考文献：

[1] 吴文俊《〈现代数学新进展》序》，载于《吴文俊论数学机械化》，山东教育出版社，1995：54

[2] （清） 阮亨 《畴人传》卷三，道光癸未年扬州阮氏刊本，第16页

[3] 钱宝琮．中国数学史[M]．北京：科学出版社，2019： 104

[4] 关于托勒密计算三角表数据的具体过程和方法，请参考Glen Vans Brummelen 《The Mathematics of the Heavens and the Earth: the Early History of Trigonometry》Princeton university Press 2009

[5] 顾今用. 中国古代数学对世界文化的伟大贡献[J]. 数学学报, 1975(01)

[6] 吴文俊. 中国古算与实数系统(一)[J]. 科学, 2003, 55 (02)

[7] Lam Lay Yong 《Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China》World Scientific Pub Co Inc，2004: 173

[8] T. L. Heath, A history of Greek mathematics  Oxford, 1921, 46-52.

机器人时代的春晚：人类永远代替不了机器人！

一个宏观研究者的自我修养

文/朱尘Mikko

最近有一些业内同僚问我怎么不怎么写联储笔记了，甚至连会议解读的路演都没有了，这不免让笔者感到有些苦涩。说实话目前的我的状态跟17年末和18年时期有点像，简言之就是找不到活干，把自己卷没了。在这里感谢还在请我线下吃白饭的一些业内同僚！

无所不能还是无能？

作为一个研究者实际上我对自己的能力圈划分是非常狭窄的，说是“全球宏观研究者”恐怕是抬举我了，我个人认为自己能算的上“懂”并且积累了一些经验的领域只有“美元流动性”（或者全球流动性），其中又以央行（资产负债表）见长。

可或许是“宏观”一词给人的广袤感所致，宏观研究者这个标签似乎承载了许多职能：

    需要就自身宏观领域中“技术性”的问题去提供专业的分析
    需要热衷于对“主线宏观叙事”的跟踪与传播
    需要有系统性风险的警示能力
    需要了解所有经济体的经济和市场基本概况，包括主要发达国家和新兴市场经济体
    需要对大类资产——包括但不限于股、债、汇、商及Crypto，甚至还得了解各行各业
    需要有实用性，解决一些具体并现实的问题
    需要提供情绪价值

下面我们来逐一分析上述的每一条最终是如何让宏观研究者的工作流变得究极繁复的。

卷专业领域

随着时间的推移，很多宏观研究者专业领域内的问题已经被嚼烂到渣都不剩，比如重大经济数据发布以后的子项分析播报（这看起来像是媒体的职能）和央行政策分析等等。

以美国经济为例，本轮紧缩至今，研究员就通胀已经卷了总体通胀、核心通胀、超级核心；二手车、OER、医保等分项；供应链、逆全球化、FTPL；对就业则是卷了职位空缺、政府就业、实际薪资、数据造假、族裔分化、退休、移民等等……视角数不胜数，每个季度都有新花样，联储的资产负债表分析甚至可以卷到ONRRP和TGA余额日级别的监测。

图：通胀跟踪受迫性“面面俱到”

从笔者个人的经验出发，通常这些数据分析被结构化到极致的时候，你反而应该关注总体数据本身，不管你把PCE的分项拆到多细，超出联储目标就是超出联储目标，最终应该得出的结论依然是“通胀太高”。

只是……这个结论已经得出很久了，所以我真没有什么可多写的。

主线叙事

每一年都会有新的“宏观叙事”涌现出来，比如“去全球化”就是一个典型，“财政主导”也算是近几年政策叙事的核心，此外还有经久不衰的“地缘冲突”。在叙事出现的时候，宏观研究者被要求“抓主线”，如果抓住了主线，则很有可能作出连续的正确的市场判断，那么报告里就可以顺理成章地把“正如我们所料”和“请参考我们此前的报告”塞进去了。

但要做到抓到主线+抓稳主线实际非常难，因为你的专业知识和市场经验可能根本不足以你做到这两点。

比如，本轮长期美债收益率上行到了5%，但是此前十年的宏观研究者都没有见过5%收益率水平的长期美债，他们也没有见过美国经济衰退，所以面对去年的美债冲击和衰退预期的时候，经验无法提供任何实质帮助。

而一个不了解国际经济学的人如何游刃有余地跟踪去全球化？一个对政治毫不感兴趣的人（笔者）又怎样去分析地缘局势？2019年的联储甚至因为财政资金波动受迫宽松，联储内部的研究者都是傻子吗？

一个研究员，了解“现在正在发生的事情”并让现实从抽象的叙事中显露出来，已经是能力的体现了……而倘若可以了解事实的联系和影响，已经算得上超凡入圣了。

预测危机

宏观研究者的一种典型用途就是被拿来做危机警报器，这一职能跟天气预报差不多。只是很多时候我们做的事情只是看一眼外面的天气然后告诉你需不需要带伞。

在包里背一把伞或许是个最优解，但笔者作为一个哪怕知道下雨也不爱带伞的人现在很少建议其他人长期带伞。

我的经验告诉我，响应式或者说应对式地处理宏观风险对于市场参与者而言更好一些，如果陷入一种对于危机的恐惧而总是担心市场崩盘则容易陷入一种行动障碍，而这对于多头驱动的市场来说是致命的。当然，我也不认为“always stay in the game”就是一种负责的方法，但思考什么时候出来的前提是得先进去。

过去十多年中可以称得上系统性危机的事件很少，美国08地产，欧洲10欧债，中国15和全球20疫情，如果从单个经济体的角度出发的话也算不上特别频繁，笔者记忆比较深刻的是2020年5月我终于刻画好了整个疫情宏观风险的潜在传导路径以及后果，但市场已经见底两个月了。

经济体百科全书

近两年流动性边际收紧的环境下，有许多脱颖而出的特色经济体和市场，而EM的投资格局也因为中国出现了改变。要知道，“国别研究”可是一个天坑啊，甚至可以上升到国家的“情报”范畴，宏观研究者的涉猎范围又被迫扩大了。

因为产业链迁移和贸易纷争，研究者被迫要跟踪墨西哥以及东盟经济体的FDI和贸易流动；因为AI和电子行业，韩国又成为了跟踪电子和美元区贸易的关键经济体；日本市场的上涨吸引着投资者，也得看；印度（中国竞争者）、沙特（2023愿景）甚至阿根廷（米莱）都要浅浅地关注。

图：几年前我可想不到自己会看沙特的就业市场……

只关注中欧日美看起来已经很难让投资者满足了，这一点上笔者确实感受到了行业的发展与进步。要知道，智堡成立伊始时，有关欧元区的研究几乎无人问津，而现在的投资者不仅仅对国别领域的研究需求在扩散，甚至对部分行业垂直领域还有持续的跟踪和关注，很多工作仅依靠宏观研究者显然无法满足这个需求缺口。

最近买什么？

由于市场中普遍会混淆“宏观研究”和“宏观策略”，这导致宏观研究者必须要对各个资产类别进行覆盖，而这项工作几乎无穷无尽，一个合格的宏观研究者在过去一年必然回答过以下5个问题：

- 日股怎么了？
- 美债怎么5%了？
- 人民币汇率怎么看？
- 铜看到多少？
- 比特币减半影响如何？

笔者个人的感受是，对于某个特定的资产类别，如果你没有经历过两轮以上周期的跟踪和洗礼，那么你是无法形成“连续”的所谓“市场感”的。这确实很抽象，但我相信很多宏观研究者都和我一样，脑中有着各个资产类别跟踪的时间碎片，但是由于你没有在一个资产类别下深耕而难以串联成可用的经验。

比如，14年的原油市场让每个宏观研究者都记忆深刻，但我没有16-17年油价记忆了；15-16年间跟踪过信用市场的波澜，此后没有再跟踪过；唯一跟踪10年以上的是美债，结果范式还转变了……

如果纳入行业，那么工作量又会过载，Mag 7和AI你能不看吗？恐怕很难不跟踪；中小银行出了事，就去翻SVB的资产负债表；私人信贷市场规模巨大，就要纳入跟踪；WFH导致商业地产有风险，你也得跟踪吧？中国的电车和地产能放下吗？利率下行环境下险资的压力要跟踪吧，为什么我一个宏观研究员还得看偿二代啊！？

什么？客户问Volmageddon、0TDE和basis trade这些……我不是交易员啊……

图：我都30多了还得练基本功吗？

我以为我只需要看一下联储的资产负债表而已。

实用价值

“朱总，我的孩子马上留学需要换汇，您认为这个汇率水平是一次性换完还是分批换汇？”
“我之前疫情放开时买了一套学区，现在建议出手还是抵押贷再抄底一套？海外置业推荐美东、美西还是日本？我朋友在希腊搞了一套说欧洲涨了很多啊。”
（干工程的哥们儿）“我之前低价屯了点钢材，现在地产放松了你觉得该怎么弄？”
“我想抄底美债，请问你买哪个ETF，利息是怎么算的？”
“香港开存款和美元账户现在要带什么东西证明？”
“利率下行环境高股息怎么看？性价比比国债高吗？”
“金价怎么看？现在可以入场吗？”
“我的kexue上网不太好用，你是用软路由的吗？可以帮我配置一下吗？”
“请问你有Goldman讲地产去库存的报告吗？”
“请问你的显示器是哪一款？你说的AI工具Poe怎么上不去？”
……
图：感谢AI……

情绪价值
之前有朋友说宏观研究是提供情绪价值的，我一点儿都没有感到冒犯，甚至还觉得提供情绪价值挺棒的，人到中年主打一个物尽其用。我到现在依然记得在直播解读联储议息会议时称赞我手好看的会员，感谢你让我感受到了自己真正的价值。
也不知道为什么和同僚们相处的时候总感觉大家对宏观研究者有一种奇特的尊重夹杂着轻蔑的感觉，就像宏观研究本身那样——既有用又没用……

完

那些被欢乐调戏的宠物顾客

为什么中国古代数学最终远远落后于西方数学？

文/职业数学家在民间

内容提要

算学经学化导致中国古代数学无法脱离人类数学文化的母胎，算法远远走在前面，说理和论证严重滞后。也正因为无法脱离母胎，所以中国古代数学，不论是在语言还是精神上，都始终没有脱离现实世界，没有进入抽象的数学世界，中国古代数学中的抽象概念尤为罕见。

今天我们都知道，数学大厦的建立，抽象概念和说理论证才是内核，而相比较之下，解题算法则是属于浅表的层面。内核空虚致使中国古代数学的发展极端重视算法，长时间停留在浅表层面，这种发展模式促成中国古代数学在早期能显示出一些表面的算法成果优势，比如方程术，圆周率计算，各种插值法，高次方程数值解等等，但最终却远远落后西方数学。

上一篇文章《刘徽的这个论述究竟是如何形成的》提到，“苍等因旧文之遗残，各称删补”，这种杜撰的传言在三国时期能够成为《九章算术》成书的主流说法，恰恰说明《九章算术》成书的真相，尤其是方程章和勾股章的创作痕迹，早在三国时期，就已经彻底消失在历史的迷雾之中了。其实从勾股章(很有可能也包括方程章的正负术)的创作时间，到三国时期，相距只有几十年时间，为什么创作的记忆会被彻底遗忘呢？我认为东汉后期至三国时期算术经学化的现象可以给出解释。

第一节 算术攀附经学，算学经学化的倾向

在《周礼》中，九数是和五礼、六乐、五射、五驭、六书并列为六艺。六书（象形、会意、转注、处事、假借、谐声），虽属于小学内容，但却是经学，尤其是古文经学的基础。经学大师许慎编撰六书理论的集大成著作——《说文解字》也是为了统一经学。至于五礼（吉、凶、宾、军、嘉），这本身就属于三礼的范畴。能和五礼，六书等并列为培养贵族子弟的六艺，这就意味九数在《周礼》体系中绝不是一个普通名物，而是具有举足轻重的地位。

《周礼》在东汉虽没有设立学官，但地位却是不断提升。东汉郑兴、郑众、卫宏、贾逵、马融、许慎、卢植等著名经学家，都撰写过《周礼》训诂或注释著作。汉明帝永平礼制改革有不少举措正是参考《周礼》，建初四年(79年)汉章帝主持白虎观会议讨论五经异同，其会议官方文献《白虎通》中也多次引用《周礼》，这些都意味着《周礼》的经学地位在东汉早期已经得到官方的承认。

《周礼》地位不断提升，水涨船高，九数以及《九章算术》自然也会受到更多重视。《后汉书·郑玄传》中记载郑玄年轻时（约公元150年） “造太学受业，师事京兆第五元先，始通京氏易、公羊、春秋、三统历、九章算术”。这说明在当时，《九章算术》已经是太学的传授内容。太学本是讲授经学的地方，《九章算术》能够成为太学的传授内容，恐怕不仅仅因为其实用性，更多的是因为《周礼》九数的权威认证。

到了东汉后期，郑玄确信 “周礼者乃周公致太平之迹”，以《周礼》为本，遍注三礼（《周礼》、《仪礼》、《礼记》），并以三礼为基础，遍注群经，统一了经学，而《周礼》则成为群经之首。正如陈壁生所言，“经学的内涵，从孔子为后王所制的价值体系，转向圣王制作、孔子整理的礼制规范”[1]，这里圣王即指周公。

其实从两汉开始，经学一直是官方学术系统的核心，而在东汉后期这种经学统一和转型的大背景之下，有《周礼》九数认证的算术也不免会攀附经学自重，再加上当时的算学本身与经学就有几分相似，二者都有经世致用的功能，算术术文和经文都是文简义奥，晦涩难懂，需要注释甚至进一步阐发，所有这些就难免使得算学出现一种经学化的倾向。《九章算术》的由来被解释为“按周公制礼，而有九数，九数之流，则九章是矣”。所以刘徽谈及《九章算术》成书过程时会提到“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌，皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补”。为了抬高重差的身份，刘徽引用了《周礼·大司徒》的原文和郑玄的注文，甚至还附会说“徽寻九数有重差之名”，攀附经学之情跃然纸上。

和《九章算术》一样，《周髀》也被认为是周公时代的产物，其中的周公商高对话提到“勾广三，股修四，径隅五”，并给出解释，这段文字很可能成为勾股章的创作动力，也很可能是勾股取代旁要的原因之一。三国时期的算学家赵爽为《周髀》作注，当《周髀》中引用秦代《吕氏春秋》：“吕氏曰：‘凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里’”，赵爽就认为“非周髀本文” ，针对《周髀》中的陈子篇，赵爽的注文为：“荣方、陈子，是周公之后人，非周髀之本文，然此二人共相解释，后之学者谓之章句”。这无疑是认为《周髀》和《周礼》一样来自周公时代，有原始经文，也有章句、注文。

郑玄统一了经学之后，魏晋南北朝时期出现了大量的经学义疏著作和音义著作。有意思的是，《隋书·经籍志》中也出现了一部《九章算术》义疏著作：“九章筭术一卷，李遵义疏。”[2]唐宋时期还出现了《九章算术》和《周髀算经》的音义著作。[3]

至于北周算学家甄鸾编撰的《五经算术》，初衷大概也是借服务经学抬高算学地位，可惜书中内容太过专业化，对经学家没什么用，比如针对《论语》千乘之国的马融注，书中给出的开方术非常冗长，而且专业术语繁多，这只会吓退绝大多数经学家。相比较之下，南梁经学家在《论语义疏》中给出的开方法就非常通俗简洁，虽然基本思想和算学家的开方术是一样的。[4]所以虽然算学家想攀附经学自重，但经学家需要的仅仅是少数非常皮毛的通俗的算术知识。正如南朝颜之推所言“算术亦是六艺要事，自古儒士论天道、定律历者，皆学通之。 然可以兼明，不可以专业”[5]。

现在可以解释为什么短短几十年时间内，勾股章(很有可能也包括方程章的正负术)的创作记忆会被彻底遗忘。在算术经学化的背景下，当勾股替代旁要成为九数之一时，勾股章的创作不会被看成是创作，而是被看成是复原，复原周公时代的九数原貌。甚至极有可能创作者本人都不认为自己是在创作，因为这种创作的一大动机正是要复原周公时代的九数原貌。所以，如果连创作者本人都没有创作意识的话，用不了一两代，这种创作记忆就会被彻底遗忘了。

第二节 中国古代数学的特征

《九章算术》和大部分中国古代数学著作，其主要内容都是以数学问题集和解题的形式出现。一个问题之所以会被贴上数学的标签，是因为解决这个问题需要用到数学计算，所以人们常说中国古代数学以算为主，重视算法。但这类观点没有什么新意，因为不单单是中国古代数学，其他远古文明的数学大致也都具有这种特点，比如古埃及数学纸草书，古巴比伦数学泥板[6]等等，其主要内容也都是以数学问题集和解题的形式出现。人类数学的早期发展大抵如此，从经验中提炼数学问题，发展各种计算工具，计算方法，探索总结各种解题方案，最后将数学问题和有效的解题方法总结成带有解法的数学问题集，这是人类数学文化的原始母胎。古埃及数学纸草书，古巴比伦数学泥板和本书第三章第一节中提到的五份秦代至汉初的算术文献都是这方面的典型例子。

但是，也不能将中国古代数学和古埃及数学，古巴比伦数学简单归入一类，因为中国古代数学中也有系统的数学智力创作的成分，而且非常显著，《九章算术》的勾股章和方程章就是典型的例子，这些数学创作内容，背后肯定有一些理性论证的思维在支撑。

遗憾地是，在这些数学智力创作活动的时代，作为官方学术系统核心的经学达到了统一的巅峰，而算术则以攀附经学自重，出现了一种经学化的倾向。经学化意味着崇古，不变，保守，这一点在圆周率的认知问题上显得尤为突出。第一章第四节提到张衡（78－139）早已取圆周率为图片，唐张守节在《史记正义》中引蔡邕（133－192）的原文：“玑径八尺，圆周二尺五寸而强也”，[7]这说明蔡邕已经知晓圆周率大于25/8。所以我相信圆周率不等于3应该是东汉后期至三国时期算学圈周知的事实，但《九章算术》经文中始终使用周三径一的古率。这里简单明白的事实却让步于古法的权威。针对这种极端保守的现象，刘徽给出了一针见血的评语：“然世传此法，莫肯精核。学者踵[8]古，习其谬失。”

这是由于算学这种经学化，崇古的强烈倾向，所以，汉代至三国时期的算学家群体的算学观始终没有明显进化，一直停留在原始阶段，最终勾股章和方程章的创作内容仍然以数学问题和解题方法(术)的形式出现，背后的算理隐而不显，甚至连创作痕迹都消失殆尽。

李继闵将中国古代数学的特点归纳为“寓理于算”，[9]这个观点流传非常广。但 “寓理于算”这个观点似有溢美之嫌。更直白的陈述应该是，算学经学化导致中国古代数学无法脱离人类数学文化的母胎，算法远远走在前面，说理和论证严重滞后。也正因为无法脱离母胎，所以中国古代数学，不论是在语言还是精神上，都始终没有脱离现实世界，没有进入抽象的数学世界，中国古代数学中的抽象概念尤为罕见。

今天我们都知道，数学大厦的建立，抽象概念和说理论证才是内核，而相比较之下，解题算法则是属于浅表层面。内核空虚致使中国古代数学的发展极端重视算法，长时间停留在浅表层面，这种严重不平衡的发展模式促成中国古代数学在早期能显示出一些表面的算法成果优势，比如方程术，圆周率计算，各种插值法，高次方程数值解等等，但最终却远远落后西方数学。

 

参考文献：

[1] 陈壁生：《从“以〈春秋〉为纲”到“以周礼为本”———郑玄的经学史意义》，《现代哲学》2024年第1期。

[2] 魏征等. 隋书[M]. 北京:中华书局，1973:1025

[3] 郭书春.李籍《九章算术音义》初探[J].自然科学史研究,1989,8(03):197-204.

[4] 关于经学中出现的开方法以及其他算术知识，朱一文在《算学与经学：中国数学新史》中做了很好的总结。

[5] 王利器. 颜氏家训集解[Ｍ]. 北京:中华书局

[6] 关于古埃及数学纸草书和古巴比伦数学泥板的介绍，请参考Katz, Victor J.的《A History of Mathematics：An Introduction, 3rd Edition》的第一章

[7] 司马迁. 史记[M]. 北京:中华书局，1959: 24

[8] 踵字本义指脚后跟，引申为追逐，跟随的意思。

[9]李继闵《论中国传统数学的特点》，载于《中国数学史论文集（二）》济南：山东教育出版社 1986：9-18。