椭圆为何是椭圆
“椭圆”是什么？小时候，我将它直观地理解成一个“压扁”或“拉长”的圆。因此，当我第一次在解析几何课本中看到椭圆的定义的时候，感觉世界观被颠覆了：
接下来，课本就从这个定义出发，推出了椭圆的方程：我们熟悉的
。这个方程和圆的方程很像，非常符合“拉长的圆”的感觉。方程推出来，自然是对的，但推导的过程不太直观，结果也有点反直觉。我还是会问自己：为什么会这样呢？
直到我看到了一张类似这样的图片（当然，当年看到的不是动图）：
怎样得到一个“拉长的圆”？很简单，找一个圆柱体，然后斜着一刀切下去。接下来，我们从斜面的上方和下方分别塞进一个球，它们与圆柱相切，同时也与截面相切。我们把球与截面相切的两个点分别记作F1和F2——这两个点也就是椭圆的两个焦点。
于是，如图，由于F1X和AX是X这个点到蓝色球的两条切线，因此它们的长度也相等。同理，XF2=XB。因此，F1X+XF2=AX+XB=AB，而AB的长度是一个定值。就这样，我们把课本上椭圆的定义和“拉长圆”的直觉理解联系了起来。
而且，如果把这里的圆柱换成圆锥，这一点也同样成立：
不过当然，圆锥的截面变化就更多了。随着角度变化，在圆锥上可以截出圆、抛物线、双曲线、两条相交的直线、两条重合的直接，甚至缩成一个点。因此，椭圆、抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线。
光线与焦点
上高中时，我们没少对着椭圆做计算，而它的光学性质也很有趣：如果从椭圆的一个焦点发出光线，再经过椭圆的反射，最终光线还会汇聚到椭圆的另一个焦点上。当然，把光换成声波、小球或是别的什么东西也可以。
在图中我们还可以看到：这些小球同时以同样的速度向不同的方向出发，又同时汇聚在另一个焦点。这说明它们走过的路程是一样的。为什么？想想椭圆的定义吧。
别的圆锥曲线也有独特的光学性质。比如说，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线的反射后，看起来会像是从双曲线的另一个焦点发出来的一样。再比如说抛物线，在它的一个焦点处发出的光线经反射后会变成平行线：
把抛物线绕对称轴旋转一圈，我们就得到了抛物面。这个抛物面也有同样的光学性质，于是我们就可以用它来把平行的光线汇聚到一点，或者把从一点发出的光线变成平行光。这个性质被应用在天线、望远镜、话筒、灯光设备等各种不同的地方。奥运的圣火也是通过抛物面汇聚的太阳光来点燃的：
球体切片
还记得课本上是怎样推导球的体积公式的吗？一个常见的方法是祖暅（gèng）原理，下面的动图解释的就是它：
祖暅原理，在西方叫卡瓦列里原理（Principio di Cavalieri）。它说的是如果两个几何体在每一个相同高度处的截面积都相同，则它们的体积也相同。从上面的图中可以看出，如果把底面半径为r、高为2r的圆柱体挖去两个高为r的圆锥，再把剩余部分与半径为r的球体进行逐层比较，可以发现二者在每个高度上的截面积都是相等的。这样一来，用圆柱和圆锥的体积公式就可以推出球体积公式了：
学过高等数学的同学可能会发现：这不就是说二重积分能够通过逐次积分来计算吗？的确，这可以看成是微积分的一个“前奏”。在17世纪上半叶，意大利数学家卡瓦列里提出了这条原理，并用它计算了一系列几何体的体积，而在17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹发明了微积分。
祖暅提出同样的原理是在公元5世纪，比卡瓦列里早了一千多年。祖暅是祖冲之的儿子，他是在求球的体积公式的过程中提出这条原理的。但他还不是第一个算出球体积公式的人。早在公元前3世纪，古希腊的阿基米德就给出了球的体积公式。他用一种奇妙的力学方法，算出半径为r的球体积是半径为r、高为2r圆柱体积的三分之二，并用穷竭法给出了证明。阿基米德的方法已经有了微积分思想的雏形，不过没有用上祖暅原理。
阿基米德的成果并没有传到中国。早期的中国数学家也研究过球的体积，但没能得到正确的结果。到了南北朝时期，祖暅终于提出了这条重要的原理：“幂势既同，则积不容异”。
祖冲之、祖暅父子在这条原理的基础上，还得到了“牟合方盖”的体积公式。咦？牟合方盖是啥？
如上图，把两根半径相等的圆柱垂直地拼在一起，它们的公共部分就是“牟合方盖”了。古人给几何体起的名字，在今天看来往往会有些奇怪，不过在高考考场上你还真有可能遇到它们，比如2015年湖北高考题就出现了“阳马”和“鳖臑”。
余弦定理的无字证明
余弦定理是勾股定理的推广。它和勾股定理一样，都有着很多不同的证明。数学证明是一件非常美妙的事情。不过，证明长了，读起来未免有些枯燥。相比之下，简短巧妙的无字证明就显得格外具有美感。下图就是余弦定理的一个无字证明：
看明白这个证明要花一点功夫，在这里我就先不剥夺读者思考的乐趣了。我没能查到这个证明的作者。它的灵感应该是来自欧几里得所给的勾股定理的证明。《几何原本》中第一卷的第47个命题便是勾股定理。只要把动图中的∠ACB改成直角，得到的就是《几何原本》上的证明：
杨辉三角
把(x+y)n这样的多项式展开，它各项的系数称为二项式系数。把所有的二项式系数排成一个三角形，得到的就是杨辉三角了。
杨辉三角有很多有趣的性质，图中显示的大概是其中最重要的一条：
杨辉三角画法简单，其背后的二项式定理又是一条极为重要的定理。不难想象，它会在历史上由许多不同年代、不同国家的数学家独立发现，并被冠以许多不同的名字。美国统计学家斯蒂芬·斯蒂格勒（Stephen Stigler），提出过一条“定律”：没有哪条科学发现是由它真正的发现者来命名的。这当然只是玩笑，不过杨辉三角确实给它提供了一个切实的例子：
它在西方被称为帕斯卡三角（Pascal's triangle）。在1653年，法国数学家帕斯卡在他的论文《Traité du triangle arithmétique》中提出了这个三角形。
不过，意大利人把它称为塔塔利亚三角（Triangolo di Tartaglia），因为意大利数学家塔塔利亚早在16世纪就发现了它——顺便提一句，塔塔利亚发明的一元三次方程求根公式被称为卡当公式，这是Stigler定律的另一个例子……
而在中国，它最常用的名字是杨辉三角。杨辉本人并没有发现这个三角，只是在自己的《详解九章算术》一书中引用了贾宪的工作。贾宪是北宋人，活跃在11世纪，不过他的著作没有流传下来。
在伊朗，人们又把它叫做海亚姆三角，纪念的是11世纪波斯数学家、诗人欧玛尔·海亚姆（Omar Khayyám）。海亚姆作出这个发现的年代与贾宪差不多，可能要略晚一些。
不过，无论是贾宪还是海亚姆都不是真正的第一个发现者。早在10世纪，印度数学家Halayudha就发现了这个三角形。幸好，Halayudha将其命名为Meru-prastaara，意为“须弥山的阶梯”。这个名字被印度人沿用至今，成功地避开了Stigler定律的诅咒。
有意思的是，Stephen Stigler 本人也不是第一个提出Stigler定律的人（说明这个定律非常科学……）。
最后，再送上另一张动图：
这个像素风动画其实也是杨辉三角，只不过把三角形里的每个数写成了二进制。确切地说，动图的每一帧代表杨辉三角的一行，每一列代表一个数，黄色代表1，黑色代表0，最下面是个位，越往上代表越高的位数。
原文链接
“椭圆”是什么？小时候，我将它直观地理解成一个“压扁”或“拉长”的圆。因此，当我第一次在解析几何课本中看到椭圆的定义的时候，感觉世界观被颠覆了：
平面上到两个定点的距离之和为一定值的点的轨迹……
……这是什么鬼？
接下来，课本就从这个定义出发，推出了椭圆的方程：我们熟悉的
直到我看到了一张类似这样的图片（当然，当年看到的不是动图）：
图片来源：Zachary Abel's Math Blog
怎样得到一个“拉长的圆”？很简单，找一个圆柱体，然后斜着一刀切下去。接下来，我们从斜面的上方和下方分别塞进一个球，它们与圆柱相切，同时也与截面相切。我们把球与截面相切的两个点分别记作F1和F2——这两个点也就是椭圆的两个焦点。
于是，如图，由于F1X和AX是X这个点到蓝色球的两条切线，因此它们的长度也相等。同理，XF2=XB。因此，F1X+XF2=AX+XB=AB，而AB的长度是一个定值。就这样，我们把课本上椭圆的定义和“拉长圆”的直觉理解联系了起来。
而且，如果把这里的圆柱换成圆锥，这一点也同样成立：
图片来源：Zachary Abel's Math Blog
不过当然，圆锥的截面变化就更多了。随着角度变化，在圆锥上可以截出圆、抛物线、双曲线、两条相交的直线、两条重合的直接，甚至缩成一个点。因此，椭圆、抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线。
图片来源：mathgifs
光线与焦点
上高中时，我们没少对着椭圆做计算，而它的光学性质也很有趣：如果从椭圆的一个焦点发出光线，再经过椭圆的反射，最终光线还会汇聚到椭圆的另一个焦点上。当然，把光换成声波、小球或是别的什么东西也可以。
图片来源：MathGifs
在图中我们还可以看到：这些小球同时以同样的速度向不同的方向出发，又同时汇聚在另一个焦点。这说明它们走过的路程是一样的。为什么？想想椭圆的定义吧。
别的圆锥曲线也有独特的光学性质。比如说，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线的反射后，看起来会像是从双曲线的另一个焦点发出来的一样。再比如说抛物线，在它的一个焦点处发出的光线经反射后会变成平行线：
图片来源：MathGifs
把抛物线绕对称轴旋转一圈，我们就得到了抛物面。这个抛物面也有同样的光学性质，于是我们就可以用它来把平行的光线汇聚到一点，或者把从一点发出的光线变成平行光。这个性质被应用在天线、望远镜、话筒、灯光设备等各种不同的地方。奥运的圣火也是通过抛物面汇聚的太阳光来点燃的：
希腊演员Eleni Menegaki点燃2010年青年奥运会圣火。图片来源：Wiki Commons
球体切片
还记得课本上是怎样推导球的体积公式的吗？一个常见的方法是祖暅（gèng）原理，下面的动图解释的就是它：
图片来源：Hyrodium's Graphical MathLand
祖暅原理，在西方叫卡瓦列里原理（Principio di Cavalieri）。它说的是如果两个几何体在每一个相同高度处的截面积都相同，则它们的体积也相同。从上面的图中可以看出，如果把底面半径为r、高为2r的圆柱体挖去两个高为r的圆锥，再把剩余部分与半径为r的球体进行逐层比较，可以发现二者在每个高度上的截面积都是相等的。这样一来，用圆柱和圆锥的体积公式就可以推出球体积公式了：
学过高等数学的同学可能会发现：这不就是说二重积分能够通过逐次积分来计算吗？的确，这可以看成是微积分的一个“前奏”。在17世纪上半叶，意大利数学家卡瓦列里提出了这条原理，并用它计算了一系列几何体的体积，而在17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹发明了微积分。
祖暅提出同样的原理是在公元5世纪，比卡瓦列里早了一千多年。祖暅是祖冲之的儿子，他是在求球的体积公式的过程中提出这条原理的。但他还不是第一个算出球体积公式的人。早在公元前3世纪，古希腊的阿基米德就给出了球的体积公式。他用一种奇妙的力学方法，算出半径为r的球体积是半径为r、高为2r圆柱体积的三分之二，并用穷竭法给出了证明。阿基米德的方法已经有了微积分思想的雏形，不过没有用上祖暅原理。
阿基米德的成果并没有传到中国。早期的中国数学家也研究过球的体积，但没能得到正确的结果。到了南北朝时期，祖暅终于提出了这条重要的原理：“幂势既同，则积不容异”。
祖冲之、祖暅父子在这条原理的基础上，还得到了“牟合方盖”的体积公式。咦？牟合方盖是啥？
图片来源：Wiki Commons 作者：Van helsing
如上图，把两根半径相等的圆柱垂直地拼在一起，它们的公共部分就是“牟合方盖”了。古人给几何体起的名字，在今天看来往往会有些奇怪，不过在高考考场上你还真有可能遇到它们，比如2015年湖北高考题就出现了“阳马”和“鳖臑”。
余弦定理的无字证明
余弦定理是勾股定理的推广。它和勾股定理一样，都有着很多不同的证明。数学证明是一件非常美妙的事情。不过，证明长了，读起来未免有些枯燥。相比之下，简短巧妙的无字证明就显得格外具有美感。下图就是余弦定理的一个无字证明：
图片来源：Wiki Commons 作者：HB
看明白这个证明要花一点功夫，在这里我就先不剥夺读者思考的乐趣了。我没能查到这个证明的作者。它的灵感应该是来自欧几里得所给的勾股定理的证明。《几何原本》中第一卷的第47个命题便是勾股定理。只要把动图中的∠ACB改成直角，得到的就是《几何原本》上的证明：
《钦定四库全书》版《几何原本》上的插图。来源：中国哲学书电子化计划
杨辉三角
把(x+y)n这样的多项式展开，它各项的系数称为二项式系数。把所有的二项式系数排成一个三角形，得到的就是杨辉三角了。
图片来源：Wiki Commons 作者：Hersfold
杨辉三角有很多有趣的性质，图中显示的大概是其中最重要的一条：
三角形中的每个数都是其上方的两个数之和有了这条性质，我们能轻松地画出杨辉三角：先画出左右两边的1，然后按这条性质填上中间的数字。
杨辉三角画法简单，其背后的二项式定理又是一条极为重要的定理。不难想象，它会在历史上由许多不同年代、不同国家的数学家独立发现，并被冠以许多不同的名字。美国统计学家斯蒂芬·斯蒂格勒（Stephen Stigler），提出过一条“定律”：没有哪条科学发现是由它真正的发现者来命名的。这当然只是玩笑，不过杨辉三角确实给它提供了一个切实的例子：
它在西方被称为帕斯卡三角（Pascal's triangle）。在1653年，法国数学家帕斯卡在他的论文《Traité du triangle arithmétique》中提出了这个三角形。
不过，意大利人把它称为塔塔利亚三角（Triangolo di Tartaglia），因为意大利数学家塔塔利亚早在16世纪就发现了它——顺便提一句，塔塔利亚发明的一元三次方程求根公式被称为卡当公式，这是Stigler定律的另一个例子……
而在中国，它最常用的名字是杨辉三角。杨辉本人并没有发现这个三角，只是在自己的《详解九章算术》一书中引用了贾宪的工作。贾宪是北宋人，活跃在11世纪，不过他的著作没有流传下来。
在伊朗，人们又把它叫做海亚姆三角，纪念的是11世纪波斯数学家、诗人欧玛尔·海亚姆（Omar Khayyám）。海亚姆作出这个发现的年代与贾宪差不多，可能要略晚一些。
不过，无论是贾宪还是海亚姆都不是真正的第一个发现者。早在10世纪，印度数学家Halayudha就发现了这个三角形。幸好，Halayudha将其命名为Meru-prastaara，意为“须弥山的阶梯”。这个名字被印度人沿用至今，成功地避开了Stigler定律的诅咒。
有意思的是，Stephen Stigler 本人也不是第一个提出Stigler定律的人（说明这个定律非常科学……）。
最后，再送上另一张动图：
图片来源：Wiki Commons 作者：Juanmacuevas
这个像素风动画其实也是杨辉三角，只不过把三角形里的每个数写成了二进制。确切地说，动图的每一帧代表杨辉三角的一行，每一列代表一个数，黄色代表1，黑色代表0，最下面是个位，越往上代表越高的位数。
原文链接
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