文/职业数学家在民间
一，
关于中国古代数学与古希腊数学的比较，吴文俊院士有一段流传很广的论述：
“我国传统数学有其自身的发展途径与独到的思想体系，而以机械化为其特色；方程求解尤其是贯穿两千多年发展中的一条主线。这与遵循古希腊传统的西方数学的公理化演绎体系大相径庭，旨趣迥异。在历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过百年来的消沉后，由于近代计算机的出现，已越来越为数学家所认识和重视，势将重新登上历史舞台。”[1]
吴文俊的这种数学史观长时间内成为中国数学史界的主流观点，针对这种主流观点的合理性，这里暂时不予置评。无论如何中西方数学史比较，这个领域是非常有意思的，非常值得探索的，有待探索的内容还非常非常多。
但历史学的首要任务却是追求历史的真实性，而对史料的抉择和使用将至关重要。对史料的不同抉择和使用方式，甚至会给读者带来完全相反的历史印象。我举个最众所周知的数学史例子——祖冲之计算圆周率，这个成就写入小学数学课本，也出现在大量的数学科普材料中，几乎没有哪个有点文化的国人不知道这个事情。这真的国人的共同骄傲啊！
其实在祖冲之之前，中国古代数学家刘徽（公元3世纪）和古希腊数学家阿基米德（公元前3世纪）就分别独立使用割圆法计算过圆周率的近似值，这才是真正开创性的工作！
据《畴人传》记载“厥后祖冲之更开密法，仍是割之又割耳，未能于徽法之外别立新术也。”[2]所以祖冲之计算圆周率仍然是沿袭刘徽的割圆法。刘徽使用了圆的内接正196边形作逼近，而根据祖冲之的结果，他应该是算到了圆的内接正24576边形[3]。
以上这些都是国内数学史著作，数学科普著作中容易查到的内容。
但是，我今天却想提一段与圆周率相关的不太普及的数学史内容，主角是古希腊数学家——托勒密，就是那个提出地心说(后来被哥白尼推翻)的托勒密。他生活在公元第二个世纪，比祖冲之的时代早大概三百年左右。托勒密使用的圆周率近似值为3.1416，并不如祖冲之的精确。
但是，这个3.1416本质上仅仅是托勒密的著作《天文学大成》中的庞大的三角表中的一个数值：
托勒密使用了一个直径为120的圆，计算了0.5°、1°、1.5°、2°、2.5°、3°……180°这些圆心角所对的弦长，这构成了他的三角表的主要数据。所以如果取1°圆心角所对的弦长，乘3 (乘360°，再除以120)就得到托勒密的圆周率近似值(使用内接正360边形)。
托勒密的三角表非常精确，被用于测天量地，在西方整整使用了1000年。
你们一定很想知道，托勒密是如何计算这么庞大的数据表格？？
120°，45°这些圆心角的弦长都好算，托勒密最先碰到的计算难点是计算36°，72°圆心角对应的弦长，为此托勒密使用了《几何原本》中的两个关于正五边形的定理。接着，利用弦长函数的倍角公式，平方和公式，和差化积公式(和我们今天的三角公式本质上是一样的)以及一些三角不等式，开方计算，线性插值，一步步算出其他数据。[4]所以托勒密的三角表的背后有一整套的三角学支撑。今天我们中学数学课堂所学的三角学正是托勒密开创的，只不过托勒密用的是弦长函数而不是今天的三角函数。
那么，托勒密是如何创建三角学的呢？
他所使用的几何知识和几何论证都是直接或间接来源于《几何原本》，平方和公式本质上就是勾股定理，和差化积公式本质上就是平面几何中大名鼎鼎的托勒密定理，倍角公式也是一个几何命题，也是用几何证明推导的。
最后让我们梳理一下上面的论述：托勒密的圆周率近似值3.1416本质上仅仅是托勒密庞大的三角表中的一个数据，而托勒密的三角表是以托勒密创建的一整套三角学为依托的，而托勒密的这套三角学的智力源泉，正是《几何原本》！
介绍托勒密圆周率背后的数学体系，绝不是要争谁胜谁负，谁强谁弱，在我看来，把中西方数学史比较当做一场穿越式的胜负竞赛是非常幼稚可笑的。
举托勒密的例子是希望读者能知晓，中西方数学史真正合理的比较，应该是以全面、充分、整体的史料为依据，而不是拿零星的数学史成就一叶障目，让读者深陷信息茧房。
二，
说到信息茧房，我忍不住想到中国古代数学中赫赫有名的计算工具——算筹。和祖冲之圆周率一样，算筹也被写入小学数学课本：
吴文俊院士认为算筹是“完美的10进位位值制”，他的评价是：
“这是中国的独特创造，是世界其他古代民族都没有的。这一创造对世界文化贡献之大，如果不能与火的发明相比，也是可以与火药，指南针，印刷术一类发明相媲美的。”[5]
“在位值制十进位计数法的基础上，不仅完成了简易方便的算术计算，产生了完美的实数系统，还发展了一种具有计算性，构造性，程序性为特色的中国机械化算法体系，而且成为13,14世纪以前两千多年数学发展的主流，这种中国式的数学在中世纪以某种方式传至欧洲，成为微积分创造发明的推动力，而且成为欧洲此后发展现代数学的火车头。”[6]
新加坡国立大学教授蓝丽容（Lam Lay Yong）的专著《Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China》更是力推“印度-阿拉伯计数系统(1,2,3…10,11…99,100…1000…)起源于中国算筹”的观点，她的主要论据之一就是：“The only numeral system that is conceptually identical to the Hindu-Arabic system is rod numeral system”[7]（算筹计数系统是唯一和印度阿拉伯计数系统在概念上等同的计数系统）
好了，我又要提一些不和谐的内容了。
其实10进制位值制绝不是中国独创的。古希腊人所使用的计算工具——计数板（abacus， 材料是石块和板）也是10进制位值制，历史同样非常悠久，甚至有可能追溯到古巴比伦。下图是1846年在希腊岛屿萨拉米发现的萨拉米板(Salamis Tablet, 约公元前300年)：
此外关于计数板还有不少古希腊文献证据。下图是用古希腊计数板表示673和1389
其实对于数学史这个领域而言，这根本不是什么偏门的冷知识，Thomas Heath的名著《A history of Greek mathematics》还专门有一节介绍计数板。[8]关于古希腊计数板的专著，可以参考Reviel Netz的长文《Counter culture：towards a history of Greek numeracy》，和Alain Scharlig的法语著作《Compter avec des cailloux: Le calcul élémentaire chez les anciens Grecs》。(这两年我一直推荐国内几个出版社翻译出版Alain Scharlig的书，但都没下文了)
从吴文俊1975年以顾今用的笔名发布《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》以来，国内的数学史著作和数学科普材料中就不断充斥着大量对中国古代算筹的宣传内容，但绝无对古希腊计数板的介绍！
昨天的文章《为什么中国古代数学最终远远落后于西方数学？？？？？》发布之后，一堆读者跟我抗议，说中国古代数学很强，比西方如何如何……
其实不论中国古代数学，还是古希腊数学，都是全人类的文化遗产，皆可为我所用，争个孰强孰弱，意义并不大的。
真正应该反思的是：
究竟是什么因素导致这些数学史读者深陷信息茧房？？？？
三，
好了，目前我的第一本数学史著作《九章故事》已经完成初稿了，昨天的文章《为什么中国古代数学最终远远落后于西方数学？？？？？》是书稿的最后一章，也是压轴戏。现在我要宣布一个庞大的数学史写作计划。
围绕中西方数学史比较这一话题，我计划写三本书：
第一本书将从历史，文化，哲学，经学，数学等角度宏观比较中国古代数学和古希腊数学；第二本书将聚焦无理数方程等话题比较中西方数学路线；第三本书将聚焦几何学比较中西方数学路线。
关于中国古代数学，我目前的计划是两本书，一本是围绕《周髀算经》，另一本是涉及秦汉时期的算术发展演化。
我完全有资格承担这个写作计划，首先，我有深厚的数学史功底，另外，更重要的是，我敢于
直面真相，秉笔直书！
参考文献：
[1] 吴文俊《〈现代数学新进展》序》，载于《吴文俊论数学机械化》，山东教育出版社，1995：54
[2] （清） 阮亨 《畴人传》卷三，道光癸未年扬州阮氏刊本，第16页
[3] 钱宝琮．中国数学史[M]．北京：科学出版社，2019： 104
[4] 关于托勒密计算三角表数据的具体过程和方法，请参考Glen Vans Brummelen 《The Mathematics of the Heavens and the Earth: the Early History of Trigonometry》Princeton university Press 2009
[5] 顾今用. 中国古代数学对世界文化的伟大贡献[J]. 数学学报, 1975(01)
[6] 吴文俊. 中国古算与实数系统(一)[J]. 科学, 2003, 55 (02)
[7] Lam Lay Yong 《Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China》World Scientific Pub Co Inc，2004: 173
[8] T. L. Heath, A history of Greek mathematics Oxford, 1921, 46-52.
没有评论:
发表评论